可以使用辛流形（symplectic manifold）的任何平滑的实值函数H来定义哈密尔顿函数。 函数H被称为哈密尔顿算子或哈密尔顿能量函数。 然后将辛流形称为相位空间。 哈密尔顿函数在辛流形上引入一个特殊的向量场，称为哈密尔顿矢量场。哈密顿函数在矩阵力学和波动力学在数学上来说是完全等价的，事实上，我们追寻它们各自的历史，发现它们都是从经典的哈密顿函数而来，只不过一个是从粒子的运动方程出发，一个是从波动方程出发罢了。而光学和运动学，早就已经在哈密顿本人的努力下被联系在了一起，这当真叫做“本是同根生”了。